尺規作圖遊樂場 Dr. Geo

還記得小時候學的 (沒有刻度的) 直尺與圓規作圖嗎？ 光用這兩個工具， 就可以畫出相似三角形、 三角形的外接圓/內切圓等等圖形。 這是很燒腦又很好玩的益智遊戲。 用電腦畫更好玩， 因為繪圖完成後， 你可以用滑鼠抓著原圖的頂點或圓心， 改變原圖 (例如三角形) 的大小/形狀/位置的同時， 看著衍生圖 (例如外接圓或內切圓) 跟著變動， 超有成就感！ 十幾年前我寫過 DrGeo: 物理老師也會心動的幾何教學玩具。 後來 Dr. Geo 大改版； 幾個月前得知： 新版的 Dr. Geo 不僅支援中文顯示， 也支援中文輸入， 今天終於要來重寫一篇新版的介紹文了。

一、 欣賞現成作品

每學期上課都拿三角形外接圓來示範 Dr. Geo， 有點玩膩了。 今天換一下題目吧： 平面上給定線段 AB 及另一點 C。 以 A 為圓心， AB 為半徑， 畫一圓 O 。 求 「通過 C 點的圓 O 的兩條切線 CE、CF 及對應的切點 E 與 F」。 先別急著往下拉； 先趁吃飯或洗澡， 給自己一點時間慢慢想一下吧。

在此同時， 請到 Dr. Geo 下載頁面 抓回檔案。 我下載的是 GNU/Linux 版。 [2024/9/10] 現在的版本很簡單， 沒有相依性的問題， 只需要解壓縮、 執行某個檔案 (下詳) 即可。

不論是哪個作業系統， 最終進入 DrGeo 之後， 其實都沒太大差別， 因為 Dr. Geo 以 Cuis-Smalltalk 撰寫， 是 smalltalk 的一個方言； smalltalk 是一個很古老但想法很先進的程式語言加虛擬機。 關於 smalltalk 的族譜及歷史， 可以參考 smalltalk 系列語言族譜 及 「蘋果電腦沒能完整抄襲的技術」。

把下載回來的 DrGeo 解壓縮、 進入 DrGeo 目錄、 chmod a+x DrGeo.sh、 執行 DrGeo.sh 。 在一片灰色虛無桌面上用滑鼠 (左鍵) 點一下， 出現中文版系統選單 (system menu)。 先點選 「開啟一個圖稿」、 點下方 「範例」 分頁。 這裡有很多網友畫的圖， 其中 Lens 跟 Gravity 是我畫的。

選取 Lens 來玩玩看好了。 這是凹凸透鏡成像。 抓著左邊的小人動一下， 看看右邊的成像有什麼變化。 還有焦點 (Focus) 也可以動一下。 點選 「橡皮擦」 ("刪除物件") 與 「板手」 ("編輯物件屬性") 之間的彩色九宮格， 就可以看到製圖過程的隱藏線， 看到這圖是依據光學原理畫出來的： (1) 平行於軸線的光線通過透鏡時轉向焦點 (2) 通過鏡心的光線方向不變。 看完後， 再點選橡皮擦左邊的圖示， 恢復 「選取並移動一個物件」 模式。

Dr. Geo 視窗右下角的兩個綠色滾輪可以調整視野範圍； 右上角的橘色滾輪可以拉近拉遠。 左邊文字顯示製圖步驟。 左下角的文字提示顯示目前的狀態： 選取/移動？ 正在畫線段？ 正在畫圓？ ... 圖示工具列上面的快捷按鍵， 其實在最上方的文字選單裡都找得到。

好， 接下來我們要畫圖了。 關於 「通過圓外一點做切線」， 心中已經有想法了嗎？ 如果還沒有， 先複習 尺規作圖常用動作， 再努力想一下吧！

想想、 再想想～～

提示： 直徑對應的圓周角必為直角。

再想想嘛～～

二、 過圓外一點做切線

好的， 那就公佈答案囉。 連接 AC， 以它為直徑畫一圓 P。 O 跟 P 的兩個交點 E 跟 F 就是切點。 直線 CE 跟直線 CF 就是切線。 因為角 AEC 跟角 AFC 都是直角。

1. 點選 「檔案」=>「新建」 創建一張新的畫布。 點兩下新視窗的標題列讓它 (在 pharo 虛擬機裡面) 變成全螢幕。
2. 點選 「線」=>「圓」， 注意 「選取並移動一個物件」 圖示的背景藍已消失， 而左下角的狀態提示則變成 「由圓心與圓上一點或...所定義的圓」， 表示現在已進入繪製圓形的模式。 在畫布上點一下， 移動滑鼠再點一下， 「選取」 圖示的背景又變回藍色； 左下角的狀態提示又變回 「選取並移動物件」。
3. 點選 「點」=>「點」。 在圓外面點一下， 產生 C。
4. 點選彩色九宮格圖示， 然後逐一點選剛才創建的每個物件 (三個點及一個圓)， 幫每個物件取名字、 改顏色。
5. 點選 「點」=>「中點」。 點一下 A， 再點一下 C。 把新創建的中點命名為 D。
6. 點選 「線」=>「圓」。 以 D 為圓心、 A (或 C) 為圓上一點畫圓。 把圓命名為 P。
7. 點選 「點」=>「交點」。 點一下圓 O， 再點一下圓 P， 產生兩個交點， 命名為 E 跟 F。
8. 點選 「線」=>「直線」。 建立直線 CE。
9. 再點一次 「線」=>「直線」。 建立直線 CF。 CE 跟 CF 就是題目所求的切線。

倒數第二步做完之後， 可從左下角看到： 又恢復到 「選取並移動物件」 狀態， 所以必須再點一次 「線」=>「直線」 才可以畫第二條切線。 像這種時候 (想要連續畫同類的點或同類的線)， 其實可以先點 「磁鐵」 右邊的 「切換模式」， 然後才點繪圖工具， 這樣就會一直維持在相同的繪圖工具， 直到再點 「選取並移動」 為止才結束連續繪圖模式。

最後點 「檔案」=>「儲存」， 填入 circle-tangent 即可存檔。 從外面的作業系統， 可以進 DrGeo/MySketches/ 子目錄看到相對應的 (xml 格式的) 檔案 circle-tangent.fgeo。 你也可以把 我做的 「過圓外一點做切線」 圖 下載回去放在這個目錄。 下次再進入 Dr. Geo 時， 從系統選單 (system menu) 點 「開啟一個圖稿」， 在 "MySketches" 分頁即可叫出先前所存的圖 (或是下載回來的圖)。 我的圖已把製圖過程隱藏起來， 必須先用彩色九宮格進入編輯模式把 輔助圓 P 跟它的圓心 D 解除隱藏才看得到完整圖形。

作業： 給定平面上兩個圓。 求它們的外公切線。 求它們的內公切線。 提示： 找到某兩個相似三角形的共同頂點即可。

三、 其他補充

想要改成白底黑字， 請看 這一篇。 [8/8 更新： 最新版的 19.09b 修正了一些小問題， 例如： 物件名稱重疊、 最後一個存檔選項不能用。 ]

大推 「尺規作圖實例、題解和證明」 超多有趣題目可玩！ 裡面包含公切線那兩題的解答。

舊版教學文 的 「軌跡」 這一篇介紹如何用 「軌跡」 功能繪製拋物線， 大致還算適用於新版， 大推。 看完後可以做一個簡單的作業： 給定兩點 F₁ 與 F₂， 以它們為焦點畫一橢圓。 橢圓上任一點到兩焦點的距離和為 L (線段 F₁-Z 的長度)。 參考解答。 我的凹凸透鏡成像， 也是用這個功能做的。 另外， 也可以照著 這一篇英文教學 跟著我一步一步畫出 「重力加速度下的投擲物體拋物線軌跡」。

作者 Hilaire Fernande 不只是數學老師與程式設計師。 因為在法國及瑞士長期投入中學數學教育， 他也很關心各種教學方法理論。 他的部落格對 「翻轉教室」、 「能力本位教學」、 「實境式學習」、 「專題導向學習」、 「做中學」、 「團體學習」、 「興趣式學習法」、 ... 等等 教學模型 也都提出觀點 -- 圍繞著他所大力推薦的 dynabook。 Dynabook 是 Alan Kay 所推廣的觀念， 而它的具體實作就是 smalltalk 程式語言/作業系統。 關於一點歷史與想法， 我那篇 雙眼明人 的文章略有簡介。 這也是為什麼 Hilaire 採用 pharo (smalltalk 的一支) 來撰寫 Dr. Geo。 最近他貼了一篇 「互動圖形理解牛頓求根法」 展示數學 (代數+幾何) 與程式設計如何毫無違和地融和在一起。 Hilaire 是臺灣女婿， 本來每隔幾年都會來一次臺灣； 近年因為身體因素， 來臺意願較低。 不過如果教育界的朋友邀請他來臺灣演講或舉辦 Dr. Geo / Smalltalk / 程式教育融入數學等等相關研習， 我相信他還是會很有興趣的 :-)

家長 & 老師們： 這個暑假一定要讓愛數學、 愛程式的孩子們玩到這一套益智玩具！