拉格朗日點、 蝌蚪形軌道、 馬蹄形軌道

在木星繞太陽的軌道上， 有兩群小行星跟木星大約保持固定的距離， 一群領先木星 60度， 另外一群落後木星 60度， 兩群合稱為 Trojan asteroids 特洛伊小行星。 這兩個位置分別稱為 L4 與 L5， 是 「太陽-木星」 系統的五個 Lagrange points 拉格朗日點 其中之二。 L4 (L5 也一樣)、 太陽、 木星三者一直維持著正三角形的相對位置。

圍繞著共同質心旋轉的兩個較大星體 (例如太陽和木星) 對於第三個質量小到可以忽略的星體 (例如小行星) 會產生什麼樣的重力影響? 有沒有一些特殊的位置， 如果把小行星放在那裡， 它所受到的引力正好可以讓它跟木星同步旋轉太陽? 這個問題有五個解， 就稱為五個拉格朗日點。 駐點木星上的天文學家們， 從他們的角度來看， 這是五個幾乎不需要耗費能量的天然 停車場 停望遠鏡場。 事實上 韋伯望遠鏡和蓋亞望遠鏡就安置在 「太陽-地球」 系統的 L2 附近。

想要求拉格朗日點的座標， 比較簡單的方法是以太陽跟木星的質心為原點， 木星放在正 x 軸， 太陽放在負 x 軸， 以木星公轉軌道軸為 z 軸。 這個 「恆星行星旋轉系統」 (叫它 S_rot 好了) 是一個旋轉而不是慣性的座標系 (叫它 S₀ 好了)， 所以計算的時候需要加入離心力跟柯式力這兩個假想力。 詳見 旋轉參考系的假想力。

如果我們只關心相對於太陽與木星 靜止不動 的小行星， 那麼柯氏力為零， 小行星所受到的兩個萬有引力和一個離心力都是 conservative forces， 它們在空間中定義出三個 保守(力)場。 也就是說， 這幾個力場各自都可以寫成空間中某個純量數 (稱為該力場的位勢函數) 的梯度場。 參考 Dennis Westra 的講義 (原始網頁已消失)、 Neil J. Cornish 的文章、 Gary 的講義， 在 S_rot 的 X-Y 平面上的一個位於 \( \mathbf{r} \) 處的單位質量的位能可以寫成： $$ - \frac{G M_s }{ | \mathbf{r}-\mathbf{r_s} | } - \frac{G M_p }{ | \mathbf{r}-\mathbf{r_p} | } + \frac{1}{2} \mathbf{\omega}^2 | \mathbf{r} |^2 $$ $$ = - \frac{G M_s }{ | \mathbf{r}-\mathbf{r_s} | } - \frac{G M_p }{ | \mathbf{r}-\mathbf{r_p} | } - \frac{G (M_s + M_p) |\mathbf{r}|^2 }{ 2 |\mathbf{r_s} - \mathbf{r_p}|^3} $$ 其中 \( M_s、 M_p、 \mathbf{r_s}、 \mathbf{r_p} \) 分別是恒星 (太陽) 與行星 (木星) 的質量和位置向量； \( \mathbf{\omega} \) 是 S_rot 相對於 S₀ 旋轉角速度向量。 據此， 可以畫出 S_rot 參考系的 X-Y 平面上的總位能場圖。

請下載 lagrange.gpt。 這是用 gnuplot 指令寫的小 script， 可以這樣執行： gnuplot lagrange.gpt 每按一次 enter 會畫下一張圖。 建議把繪圖視窗放到最大， 解析度高一點比較好看。 每一張圖其實都是俯視角度的立體圖； 可以用滑鼠旋轉， 看 3D 圖。 請忽略最開始的平面圖， 它的出現， 只是要讓你有放大圖形視窗的機會。 按 enter 之後， 接下來的圖分別是：

1. 恒星-行星系統位能圖概觀
2. 行星附近位能圖
3. L1 附近
4. L2 附近
5. L3 附近
6. L4 附近
7. L4 附近放大圖

這個 script 畫圖的時候， 跟上面的解說有一些出入：

1. 所有計算完成， 最後要畫圖之前， 旋轉了30度。 (rot0 = pi/6) 所以行星以及 L1、L2、L3 的位置不在 gnuplot 的 X 軸， 而在 30度線上。 L4 正好跑到 90度的方向 (大約在 Y 軸上)， 這樣放大 L4 附近的時候， 才比較容易看出它位於位能函數的極值附近。 (X 軸拉近較少， Y 軸拉近較多)
2. 離恒星或行星太近的 「位能深井」 被我填平了， 以免佔據太多等高線與顏色。
3. 圖中行星的質量是恒星質量的 1%。 (Script 中的 alpha 值) 實際上木星的質量是太陽的 0.1%， 若以此比例畫， 在概觀圖上幾乎看不見。

拉格朗日點是位能函數的極值點， 可能是山頂、谷底或鞍點。 可以看到 L1、L2、L3 這三個點都是鞍點， 表示此處並不穩定， 稍微有點外力， 小行星就會掉出去。 而 L4... 竟是一個頂點? 極大值! 驚! 是我畫錯了嗎?

再次認真讀， 才發現 L4 是極大值沒錯。 但只要小行星一開始移動， 先前被我們忽略的柯氏力就會開始作用， 讓小行星圍繞著 L4 旋轉。 小行星的軌道並不是簡單的圓形或橢圓形， 而是一個快速旋轉的小圈繞著橢圓形的中圈旋轉， 中圈相對於 S_rot 而言是靜止的； 但是從 S₀ 慣性座標系看， 這個橢圓形的中圈又繞著恆星行星系統質心旋轉。 天啊這也太花式了吧! 直接圖片搜尋 「tadpole orbit」 比較清楚。 大推 Ross 教授的影片， 省略數學式推導， 直接跳到結論： 20:00-30:30 及 41:00-44:45。 L4 附近的特洛伊小行星群聚成一坨類似蝌蚪的形狀， 所以統稱為 tadpole orbits。 有一些特洛伊小行星則是 (在 S_rot 參考系裡面) 以近似馬蹄型的軌道在移動 (28:48) 所以稱為 horseshoe orbit。 從慣性參考系 S₀ 看則是： 當它快追趕上木星時就開始變慢； 當它快被木星追趕上時就開始變快。 這些奇怪的軌道， 感覺可以拿來寫科幻小說： 燃料不夠的時候從一顆小行星跳到另外一顆小行星之類的故事。

計算 L1、L2、L3 的時候， 假設了 Ms >> Mp， 因此如果 alpha 太大， 位置會不準確。 至於 L4 與 L5 的位置， 不論 alpha 大小， 都會落在正三角形的頂點； 但是如果 Ms < Mp*24.96， 這兩點就不再是穩定的位置。