旋轉參考系的假想力 (旋轉餐廳裡面的物理學)

在一個旋轉餐廳面擺一個撞球檯， 觀察球的軌跡， 數學式會變成什麼樣子? (如果它轉得夠快的話啦) 離心力， 每當公車轉彎時都可以感受得到； 科氏力， 常常聽到但一直覺得理解得有點心虛。 我偏好用精準但不要太難的數學式去理解物理， 這樣即使省略囉唆的數學運算過程， 還是可以很放心地把最終得到的物理知識放進我的信仰體系裡面。 很認真地搜尋到這篇 (正好符合我的程度與偏好的) 文章： Non-Inertial Frames， 又有很棒的漫畫， 一定要導讀/分享一下重點。

這是 一大本相對論講義 當中的一章， 但其實這一章完全沒談到相對論， 而且除了最後一個子節之外， 並不需要其他高深的先備物理知識。 只要有理工科系大一程度的數學， 特別是必須對向量微分感到自在， 這篇文章就很好讀。 從 等速圓周運動 的基本公式 「已知位置向量與角速度求瞬間速度」 出發： $$\dot{\mathbf{r}}=\omega \times \mathbf{r}$$ 粗體字就是向量 (上式中間是粗體版的 $\omega$ )； 符號上面一個點就是對時間求導函數。 戴三角帽的向量 (例如 $\hat{\mathbf{r}}$ ) 是單位向量。 再來 ${\mathbf{e}}_1、{\mathbf{e}}_2、{\mathbf{e}}_3$ 分別是慣性座標系 S 的 X、Y、Z 三個軸上面的單位向量； ${{\mathbf{e}}^{\prime }}_1、{{\mathbf{e}}^{\prime }}_2、{{\mathbf{e}}^{\prime }}_3$ 則是旋轉參考系 S' 上面的單位向量。

再來這個式子 $\mathbf{r}=r_i{\mathbf{e}}_i$ 作者說 "using the summation convention" 意思就是他 省略了 $\mathrm{\Sigma }$ ， 完整的寫法應該是 $\mathbf{r}={\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^3{r}_i{\mathbf{e}}_i$ 這是張量分析裡面的寫法： (我曾經讀了幾頁就放棄了) 一個乘積裡面， 如果有一個註標變數 (例如 i) 出現兩次， 就要自己腦補一個 ${\mathrm{\Sigma }}_i$。 算一算得到 (6.2) 式， 兩個座標系之間關於物體速度向量 (也就是位置向量對時間的一階導函數) 的座標轉換。

對時間再求一次導函數， 算算算得到兩個座標系之間， 關於物體加速度 (位置向量對時間的二階導函數) 的座標轉換。 兩邊乘上運動物體 (例如撞球) 的質量 $m$、 再移項， 得到最關鍵的 (6.5) 式： $$m{\left(\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}\right)}_S=F-m\omega \times (\omega \times \mathbf{r})-2m\omega \times {\left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)}_{S^{\prime }}-m\dot{\omega }\times \mathbf{r}$$ (我調整了三項的順序) 在慣性參考系 S 裡面看到的 $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ 到了旋轉參考系 S' 裡， 會 (很真實地!) 感受到三項多出來的 fictitious forces (假想力)。 在 S' 裡面一定會觀察得到的是第一項， 離心力： $-m\omega \times (\omega \times \mathbf{r})$ 凡是相對於 S' 有運動的物體都會感受到第二項， 柯式力 (Coriolis force)： $-2m\omega \times {\left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)}_{S^{\prime }}$ 至於第三項 Euler force： $-m\dot{\omega }\times \mathbf{r}$ 只存在於 $\dot{\omega }\ne 0$ 的系統； 因為這篇文章只討論 等速 圓周運動， 所以這一項在以下都視為零。 [ 然後突然想到： 在有重力感的 旋轉輪太空站 裡面生活， 東西掉下來時不會走直線耶! ]

圖33在為後面的幾個範例鋪路。 把 $\omega$ 想成是 "每 86400 秒繞著地軸旋轉 $2\pi$"， 把 $\mathbf{r}$ 想是地球表面的一點， $\theta$ 是它所在的緯度。 另外， 因為 $|\omega |$ 的數值很小， 所以後面有幾處計算過程省略 $|\omega |$ 的高次方項， 以便簡化算式。

接下來就是應用 (6.5) 式去解釋一些有趣的物理現象了。 如果數學式太枯燥無聊， 可以搜尋一些圖片或影片來看。

"Apparent Gravity" 這一節談的是： 地表上的人類感受到的重力， 其實是萬有引力加上離心力的合成力。 在南北兩極量到的是真實的體重； 在赤道上量體重最輕； 在南北緯45度， 如果垂直水平面鑽地洞， 可以最明顯地發現偏離地球球心最遠。 搜尋關鍵詞： 「apparent gravity centrifugal」； 數學教學影片。

"A Rotating Bucket" 這一節談的是把水桶放在唱片或CD轉盤或旋轉椅上面旋轉時， 水面的形狀長怎樣?

6.4.1 節解釋颱風跟旋渦的方向： 北半球逆時針， 南半球順時針， 以及為什麼赤道附近不會有颱風。 6.4.2 節解釋： 從高塔上把球垂直放下來， 它會往哪個方向跑? 假設沒有風的話啦。 6.4.3 節計算佛科擺。 直覺很容易理解幾個特殊情境： 在北極， 擺動平面每24小時會順時針旋轉一圈； 在南極則是逆時針轉一圈； 在赤道， 有兩個方向 (經度線跟緯度線的方向) 可以比較簡單地猜出來： 擺動平面應該不會改變。 那麼如果在其他緯度做實驗呢? 答案是： 以 24小時/sin(緯度) 為週期旋轉。 這節的數學步調比較快， 即使做了一些近似， 例如忽略泰勒展開式的二次方 (含) 以上的項， 還是有點複雜。 不過讀過這篇文章之後， 再用 「foucault pendulum equation」 去搜尋， 就會覺得其他步調比較慢的文章相對還算好懂。 6.4.4 遇到電磁學.. 那我就先略過好了。

讀這一篇文章理解那麼多有趣的物理現象， 超划算! 雖然很多現象小時候就有聽過， 但是看到他用數學式推導， 後面的個案分析即使沒有完全看懂， 心裡還是踏實很多。